L'Académie nous a chargés, M. Liouville et moi, de lui rendre, eompte d'un Mémoire deM. Laurent relatif à l'extension d'un théorème que l'un de nous a donné dans le Mémoire présenté à l'Académie de Turin le II octobre 1831, et dont il a fourni une démonstration nouvelle dans ses Exercices d'Analyse et de Physique mathématique, Le théorème en question peut s'énoncer comme il suit :

x désignant une variable réelle ou imaginaire, une fonction réelle on imaginaire de x sera développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de cette variable, tant que le module de la variable conservera une valeur inférieure à la plus petite de celles pour lesquelles la fonction ou sa dérivée cesse d'être finie ou continue.

En examinant attentivement la première démonstration de ce thréorème, M. Laurent a reconnu, comme il le dit lui-même, que l'analyse employée par l'auteur pouvait conduire à un théorème plus général, relatif au développement d'une fonction en une série ordonnée suivant les puissances entières positives, nulle et négatives de la variable. Déjà, dans une des séances de l'Académie, le rapporteur avait montré qu'un semblable développement, lorsqu'il peut s'effectuer entre deux limites données du module de la variable, pour des valeurs quelconques de l'argument de cette variable supposée imaginaire, est toujours unique.