Nous développons dans cet article des résultats de M. B. Tabanov et moi-même annoncés dansla note [6]. M. B. Tabanov a donné un exposé de ses méthodes dans [7]. Notre approche,différente, est le sujet principal de notre thèse [5], soutenue à l'université de Paris VIIsous la direction de A. Chenciner.Nous étudions la séparation des séparatrices d'un billard elliptiquepour une déformation algébrique et donc globale de l'ellipse. Nous mesurons cette séparation par une fonction deMelnikov (dont le calcul est peu fréquent dans le cadre des systèmes dynamiques discrets),et nous observons que cette fonction est en général(lorsqu'elle admet une extension méromorphe) elliptique. Nousdonnons ensuite sa décomposition en éléments simples avec les fonctions thêta. Nous obtenonsainsi sur un exemple tous les zéros d'une fonction de Melnikov, et donc toutes les orbiteshéterocliniques primaires.