f(n, k) sera l'entier maximum t tel qu'il existe un graphe G ayant les propriétés suivantes:

• (a) G possède n sommets;

• (b) le nombre chromatique de G est égal à k;

• (c) Gest minimal par rapport à la propriété (b); c'est-à-dire, la suppression ede n'importe quelle arête rend G(k – 1)-colorable;

• (d) il existe t sommets indépendants de G, c'est-à-dire dont nulle paire ne se joigne par une arête.

Un graphe sera k-minimal s'il possède les propriétés (b) et (c). Puisque les graphes 3-minimaux sont tous des polygones impairs, il s'ensuit que f(n, 3) = [n/2] (n = 3, 5, 7, …), Il y a quelque temps T. Gallai a posé la conjecture:

1.1

M. Simonovits a réfuté l'inégalité stricte dans (1.1) en prouvant que

1.2