On se donne un intervalle ouvert non vide $\omega $ de $\mathbb{R}$ , un ouvert connexe non vide $\Omega $ de ${{\mathbb{R}}_{5}}$ et unpolynôme unitaire

$${{P}_{m}}\left( z,\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)={{z}^{m}}+{{a}_{1}}\left( \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right){{z}^{m-1}}=+\cdot \cdot \cdot +{{a}_{m-1}}\left( \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)z+{{a}_{m}}\left( \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)$$

de degré $m>0$ , dépendant du paramètre $\lambda \in \Omega $ . Un tel polynôme est dit $\omega $ -hyperbolique si, pour tout $\lambda \in \Omega $ , ses racines sont réelles et appartiennent à $\omega $ .

On suppose que les fonctions ${{a}_{k}},k=1,\cdot \cdot \cdot ,m$ , appartiennent à une classe ultradifférentiable ${{C}_{M}}\left( \Omega\right)$ . On s‘intéresse au problème suivant. Soit $f$ appartient à ${{C}_{M}}\left( \Omega\right)$ , existe-t-il des fonctions ${{Q}_{f}}$ et ${{R}_{f,k}},k=0,\cdot \cdot \cdot ,m-1$ , appartenant respectivement à ${{C}_{M}}\left( \omega \,\times \,\Omega\right)$ et à ${{C}_{M}}\left( \Omega\right)$ , telles que l’on ait, pour $\left( x,\,\lambda\right)\,\in \,\omega \,\times \,\Omega$ ,

$$f\left( x \right)={{P}_{m}}\left( x,\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right){{Q}_{f}}\left( x,\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)+\sum\limits_{k=0}^{m-1}{{{x}^{k}}{{R}_{f,k}}\left( \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)?}$$

On donne ici une réponse positive dès que le polynôme est $\omega$ -hyperbolique, que la class untradifférentiable soit quasi-analytique ou non ; on obtient alors, des exemples d’idéaux fermés dans ${{C}_{M}}\left( {{\mathbb{R}}^{n}} \right)$ . On complète ce travail par une généralisation d’un résultat de C. L. Childress dans le cadre quasi-analytique et quelques remarques.

Let $\omega $ be an open interval in $\mathbb{R}$ $\Omega $ , an open connected set in ${{\mathbb{R}}^{s}}$ and ${{P}_{m}}$ , a monic polynomial

$${{P}_{m}}\left( z,\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)={{z}^{m}}+{{a}_{1}}\left( \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right){{z}^{m-1}}=+\cdot \cdot \cdot +{{a}_{m-1}}\left( \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)z+{{a}_{m}}\left( \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)$$

of degree $m>0$ , depending on $\lambda \in \Omega $ . Such a polynomial is said to be $\omega $ -hyperbolic if, for any $\lambda \in \Omega $ , its roots are real and contained in $\omega$ .

Let us suppose that ${{a}_{k}},k=1,\cdot \cdot \cdot ,m$ , belong to an ultradifferentiable class ${{C}_{M}}\left( \Omega\right)$ . We deal with the following problem. Given $f$ belonging to ${{C}_{M}}\left( \Omega\right)$ , do there exist functions ${{Q}_{f}}$ and ${{R}_{f,k}},k=0,\cdot \cdot \cdot ,m-1$ belonging respectively to ${{C}_{M}}\left( \omega \,\times \,\Omega\right)$ and to ${{C}_{M}}\left( \Omega\right)$ , such that we have, for $\left( x,\,\lambda\right)\,\in \,\omega \,\times \,\Omega$ ,

$$f\left( x \right)={{P}_{m}}\left( x,\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right){{Q}_{f}}\left( x,\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)+\sum\limits_{k=0}^{m-1}{{{x}^{k}}{{R}_{f,k}}\left( \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)?}$$

We give here a positive answer as soon as the polynomial is $\omega $ -hyperbolic whether the ultradifferentiable class is quasi-analytic or not; we then get examples of closed ideals in ${{C}_{M}}\left( {{\mathbb{R}}^{n}} \right)$ . We complete this work with a generalization of a result of C. L. Childress in the quasi-analytic case and some remarks.