La façon la plus simple de faire d’un graphe fini connexe G un système dynamique est de lui donner une polarisation, c’est-à-dire un ordre cyclique des arêtes incidentes à chaque sommet. L’espace de phase $\mathcal {P}(G)$ d’un graphe consiste en toutes les paires $(v,e)$ où v est un sommet et e une arête incidente à v. Elle donne donc la position et le vecteur initiaux. Une telle condition est équivalente à une arête que l’on munit d’une orientation $e_{\mathcal O}$. Avec la polarisation, chaque donnée initiale mène à une marche à gauche en tournant à gauche à chaque sommet rencontré, ou en rebondissant s’il n’y a en ce sommet aucune autre arête. Une marche à gauche est appelée complète si elle couvre toutes les arêtes de G (pas nécessairement dans les deux sens). Nous définissons la valence d’un sommet comme le nombre d’arêtes adjacentes à ce sommet, et la valence d’un graphe comme étant la moyenne des valences de ses sommets. Dans cet article, nous démontrons que si un graphe plongé dans une surface orientée fermée de genre g possède une marche à gauche complète, alors sa valence est d’au plus $1 + \sqrt {6g+1}$. Nous prouvons de plus que ce résultat est optimal pour une infinité de genres g et qu’il est asymptotiquement optimal lorsque $g \to + \infty $. Cela mène à des obstructions pour les plongements de graphes sur une surface. Puisque vérifier si un graphe polarisé possède ou non une marche à gauche complète s’opère en temps au plus $4N$, où N est le nombre d’arêtes (il suffit de le vérifier sur les deux orientations d’une seule arête donnée), cette obstruction est particulièrement efficace. Ce problème trouve sa motivation dans ses conséquences intéressantes sur ce que nous appellerons ici l’ergodicité topologique d’un système conservatif, par exemple un système hamiltonien H en dimension deux où l’existence d’une marche complète à gauche correspond à une orbite du système topologiquement ergodique, donc une orbite qui visite toute la topologie de la surface. Nous nous limitons ici à la dimension $2$, mais une généralisation de cette théorie devrait tenir pour des systèmes hamiltoniens autonomes sur une variété symplectique de dimension arbitraire.

The simplest way to make a dynamical system out of a finite connected graph G is to give it a polarization, that is to say a cyclic ordering of the edges incident to a vertex, for each vertex. The phase space $\mathcal {P}(G)$ then consists of all pairs $(v,e)$ where v is a vertex and e is an edge incident to v. Such an initial condition gives a position and a momentum. The data $(v,e)$ is of course equivalent to an edge endowed with an orientation $e_{\mathcal O}$. With the polarization, each initial data leads to a leftward walk defined by turning left at each vertex, or making a rebound if there is no other edge. A leftward walk is called complete if it goes through all edges of G, not necessarily in both directions. As usual, we define the valence of a vertex as the number of edges incident to it, and we define the valence of a graph as the average of the valences of its vertices. In this article, we prove that if a graph which is embedded in a closed oriented surface of genus g admits a complete leftward walk, then its valence is at most $1 + \sqrt {6g+1}$. We prove furthermore that this result is sharp for infinitely many genera g, and that it is asymptotically optimal as $g \to + \infty $. This leads to obstructions for the embeddability of graphs on a surface in a way which admits a complete leftward walk. Since checking that a polarized graph admits a complete leftward walk or not is done in time $4N$, where N is the cardinality of the edges (we just have to check it on both orientations of any given edge), this obstruction is particularly efficient in terms of computability. This problem has its origins in interesting consequences for what we will call here the topological ergodicity of conservative systems, especially Hamiltonian systems H in two dimensions where the existence of a complete leftward walk corresponds to a topologically ergodic orbit of the system, i.e. an orbit of H visiting all the topology of the surface. We limit ourselves here to two dimensions, but generalisations of this theory should hold for autonomous Hamiltonian systems on a symplectic manifold of any dimension.